ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA

 CORSO  DI  GEOMETRIA DESCRITTIVA

PROF. LUIGI ALBANO

Definizione degli enti fondamentali nella geometria euclidča ed in quella descrittiva

 

GEOMETRIA EUCLIDčA

 

PUNTO 

 

In geometria il punto č un concetto primitivo privo di dimensioni. Rappresenta quindi una posizione nello spazio euclideo.

 

Un punto nella geometria euclidča non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'č esattamente un punto che appartiene ad entrambe.

 

Tre o piů punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta.

Tre o piů punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.

Viene  contrassegnato con una lettera maiuscola dell'alfabeto latino.

 

Proprietŕ

Il punto č in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano, nel modo seguente:

·        Per ogni punto passano infinite rette.

·        Per due punti passa una sola retta.

·        Per tre punti non allineati passa un solo piano.

·        Una retta contiene infiniti punti.

 

Retta

Una retta viene disegnata come un segmento con estremi tratteggiati.

La retta o linea retta č uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidča.

Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti č un modello materiale che ci puň aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta č inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioč č infinita.

Viene  contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

Definizioni

Una retta puň giacere (cioč essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette distinte nel piano possono essere:

  • incidenti se si intersecano;
  • parallele se non si intersecano.

Due rette nello spazio possono essere:

  • complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;
  • sghembe se non sono contenute in un piano comune.

Proprietŕ

La retta č in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente:

  • Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.
  • Per due punti passa una sola retta.
  • Per una retta passano infiniti piani.
  • Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.

Una retta si individua, rispettivamente:

  • come congiunzione lineare di due punti destinti;
  • come intersezione tra due piani.

 

 

Piano

In geometria esistono alcuni enti fondamentali chiamati concetti primitivi. Il piano č un concetto primitivo, come il punto e la retta. Inteso come luogo geometrico di punti, il piano, nello spazio tridimensionale, č l'insieme di tutti quei punti la cui proiezione su una retta fissata č uguale.

Dal punto di vista della geometria differenziale il piano č quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

 Un piano si individua, rispettivamente:

·                     dati tre punti distinti e non allineati 

·                     dati due rette incidenti.

 

GEOMETRIA DESCRITTIVA

la Geometria Descrittiva non abbandona i postulati della geometria Euclidča ma li trasforma e se ne avvale, ampliandoli con il citato   concetto dell'ente geometrico improprio.

Gli "ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI" sono: il punto, la

retta, il piano.

- un punto improprio č un punto la cui posizione č immaginata all'infinito. Il punto, come nella Geometria Euclidča, non ha dimensioni.

- Una retta impropria č formata da punti impropri. La retta ha una ed una sola dimensione. Ogni piano contiene una ed una sola retta impropria e pertanto nello spazio esistono infinite rette improprie, poiché infinito č il numero dei piani.

- Il piano improprio č formato da punti impropri e da rette improprie. Il piano ha due dimensioni. Nello spazio esiste un solo piano improprio.

lo spazio a tre dimensioni della Geometria Euclidča, ampliato con gli enti impropri, assume il termine di "spazio proiettivo". In particolare:

- la retta che possiede il punto improprio č detta retta proiettiva;

- il piano che possiede punti impropri e retta impropria č detto piano proiettivo.